Dieser Abschnitt des Projekts beschäftigt sich mit der
Verwendung von Programmen zur Dynamischen Geometrie. Nach einer
Einführung ist dieser Abschnitt in drei Teile geteilt, jeder
Teil mit einer Folge von Musteraufgaben:
Einführung
1.
Arbeiten mit Dreiecken
2.
Besondere Punkte und Linien im Dreieck
3.
Arbeiten mit Spiegelungen
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Mitglieder der Gruppe Dynamische
Geometrie waren.
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Der Geometrieunterricht befindet sich seit längerem in vielen
Ländern der EU auf dem Rückzug, der Mathematikunterricht in
der Sekundarstufe I ist vom Arbeiten mit Zahlen dominiert. An diesem
Zustand ist der Geometrieunterricht selbst nicht schuldlos. Die
Anhänger der Kongruenzgeometrie übertrieben kniffligste
Konstruktionsaufgaben, die Abbildungsgeometrie als Kind der
Strukturmathemathematik scheiterte in der Schulpraxis.
Der Einsatz von Taschenrechnern und Computern hat den
Geometrieunterricht zunächst wenig beeinflußt. Mit den
Geometrieprogrammen der ersten Generation konnte man zunächst
(nur) konstruieren wie mit Zirkel und Lineal/ Geodreieck. Nachdem die
erste Faszination des Computers nachgelassen hatte, stellte sich
zwangsläufig die Frage, warum man eigentlich solch einen Aufwand
betreibt, wenn man mit Zirkel und Lineal/ Geodreieck das gleiche
erreicht.
Die zweite Generation der Geometrieprogramme ermöglicht es nun,
dynamisch zu konstruieren. Es gibt einen Zugmodus, in dem man
einmal konstruierte Figuren an Basisobjekten variieren kann und dabei
geometrische Beziehungen zwischen konstruierten Objekten
beibehält. Auf diese Weise konstruiert man nicht nur eine
einzelne Figur, sondern eine ganze Klasse von Figuren und kann deren
Eigenschaften (was ändert sich, was bleibt erhalten) studieren.
So erhält man viele geometrische Sätze als
Invarianzeigenschaften.
Desweiteren ist es möglich, die Programme Konstruktionen lernen
zu lassen. Einmal durchgeführte komplexe Konstruktionen
können als Makros abgespeichert werden und stehen dann
als neue Befehle zur Verfügung. So können im Unterricht nun
Konstruktionen durchgeführt werden, die früher aus
Zeitgründen oder Komplexitätsgründen nicht
möglich waren.
Aus der Beweglichkeit der Basisobjekte ergibt sich auch noch die
Möglichkeit, bestimmte Punkte Ortslinien zeichnen zu
lassen und diese dann weiter zu untersuchen.
Diese drei Fähigkeiten (Beweglichkeit, Lernfähigkeit und
Ortslinien) bedeuten einen großen qualitativen Sprung. Viele
wesentliche Fragestellungen, die bisher der elementaren
Schulgeometrie verschlossen waren, können plötzlich
behandelt werden, neue Welten tun sich auf.
Besonders zu betonen ist, daß mit den dynamischen
Geometrieprogrammen neue Arbeitsformen ermöglicht werden.
Ein experimentieller Ansatz wird möglich und typisch als Beginn,
das Ausprobieren und Vermuten wird zum fundamentalen Bestandteil des
Unterrichtens und erhält als Vorstufe zum Beweisen eine neue,
bisher nicht gekannte Qualität.
Darüber hinaus kann bei geeigneter Aufgabenstellung
individuelles Lernen mit eigener Arbeitsgeschwindigkeit möglich
werden. Durch ein höheres Maß an Eigenaktivität (als
im herkömmlichen Geometrieunterricht) wird die Motivation zum
Lernen positiv beeinflußt. Die Schülerinnen und
Schüler lernen im Sinne der Grundbildung in den neuen
Technologien, den Computer als geeignetes Werkzeuge zu nutzen und
einzusetzen. Sie haben Freude am exakten Aussehen der Figuren auf dem
Bildschirm und im Ausdruck, an den graphischen
Gestaltungsmöglichkeiten und an den gelungenen
Lösungen.
Die Reihenfolge der getätigten Arbeitsschritte kann bei den
meisten Programmen als eine Art Konstruktionsbeschreibung am
Bildschirm abgerufen werden. Dies eröffnet auch weitere
didaktische Möglichkeiten. Bei einigen Programmen kann man in
einer Rückblende die Konstruktion nochmals schrittweise ablaufen
lassen.
Es gibt mittlerweile zahlreiche dynamische Geometrieprogramme
für DOS, Windows und MacIntosh (Cabri, Geometers Sketchpad,
Euklid, Geolog, Thales: Weitere Informationen).
Sie unterscheiden sich durch unterschiedliche Schwerpunktsetzungen,
Umfang und Leistungsfähigkeit sowie durch eine verschieden lange
und intensive Einarbeitungszeit. Sie folgen aber derselben
grundlegenden Philosophie und besitzen alle oben beschriebenen
Eigenschaften.
Man sollte aber keinesfalls darauf verzichten, die grundlegenden
Konstruktionen auch mit Zirkel und Lineal/ Geodreieck
durchzuführen. Die Nutzung eines dynamischen Geometriesystems
kann als willkommene, wertvolle Ergänzung zu einem wie bisher
gehaltvollen Geometrieunterricht gesehen werden. Die
Schülerinnen und Schüler sollten auch erst dann die
zusammengesetzten Konstruktionsbefehle wie Mittelsenkrechte,
Parallele usw. am Computer einsetzen, wenn die entsprechenden
Konstruktionen per Hand behandelt und geübt wurden.
Tätigkeiten wie falten, schneiden und Umgang mit Zirkel, Lineal
und Geodreieck sind wesentlich für die Entwicklung geometrischen
Verständnisses und dürfen nicht übergangen werden. Der
Computer kann dies nicht ersetzen, wohl aber darauf aufbauen.
Oft wird den Geometrieprogrammen entgegengehalten, daß sie das
Beweisbedürfnis verringern. Dabei wird aber übersehen,
daß viele der im Schulunterricht bearbeiteten Beweise mehr der
Beruhigung des Gewissens des Lehrers dienen als dem Verständnis
der Schülerinnen und Schüler. Gerade durch einen
geschickten Einsatz dynamischer Geometrieprogramme kann man jetzt
klassische Beweise einsichtig und besser nachvollziehbar machen.
Darüberhinaus entsteht sicherlich auch kein unabwendbarer
Schaden, wenn man bestimmte den Schülerinnen und Schülern
offensichtliche Invarianzen eben als offensichtlich akzeptiert und
die gewonnene Zeit nutzt, anderen Fragen auf den Grund zu gehen.
Derer gibt es genug, denn aufgrund der Fähigkeiten dynamischer
Geometrieprogramme kommt man nun auf höherer Ebene zu Problemen,
die bisher dem Geometrieunterricht verschlossen blieben. Auch ist die
"Beweiskultur" in den verschiedenen europäischen Ländern
durchaus unterschiedlich ausgeprägt. In Deutschland ist es z. B.
unumstritten, daß man alle geometrischen Sätze beweisen
sollte und es ist weitgehend verpönt, sich auf
Plausibilitätsüberlegungen oder gar Beispiele zu
beschränken. So unbestritten dies in Deutschland ist, so extrem
ist es im Vergleich zu anderen europäischen Ländern, in
denen nur wenig oder kaum im Schulunterricht bewiesen wird. In einer
vergleichenden Untersuchung zum Mathematikunterricht im englischen
und deutschen Schulwesen von G. Kaiser, Kassel heisst es dazu:
"Die Unterschiede im Theorieverständnis zwischen englischem und deutschem Mathematikunterricht zeigen sich auch in der Stellung des Beweisens im Mathematikunterricht.
Im deutschen Gymnasialunterricht kommt Beweisen eine recht hohe Bedeutung zu ... . Insbesondere das Themengebiet Geometrie ist ein Bereich, in dem die Durchführung von Beweisen einen hohen Stellenwert einnimmt und meist exemplarisch geübt wird; dabei ist auch der Aufweis der Beweisbedürftigkeit zentral. Beweise werden aufgrund ihrer Komplexität meist im stark gelenkten Unterrichtsgespräch durchgeführt.
Im englischen Mathematikunterricht nehmen Beweise einen geringen Stellenwert ein, und zwar sowohl im selektiven wie im nicht-selektiven Schulsektor. So werden Sätze häfig experimentell entdeckt und dann auch entsprechend beispielgebunden überprüft, wobei zwischen beispielgebundener Überprüfung und Beweis häufig nicht von den Lehrpersonen im Unterricht unterschieden wird. Dies führt u.a. dazu, dass die Lernenden in ihren eigenen mathematischen Untersuchungen ("Investigations") nach einer beispielgebundenen Überprüfung ihrer entwickelten Formel bzw. Lösung die Arbeit beenden und nur selten einen allgemeinen Begründungsversuch durchführen. Dem geringen Stellenwert von Beweisen korrespondiert, daß mathematische Sätze und Regeln von der Lehrperson häufig einfach mitgeteilt werden, ohne Ansätze zur Begründung."
Für andere europäische Länder sieht es ähnlich
aus, soweit sich das nach den persönlichen Erfahrungen der am
Projekt teilnehmenden Lehrer beurteilen läßt, es liegt
aber noch keine wissenschaftlich abgesicherte Untersuchung auf
gesamt-europäischer Ebene vor.
Die vorgestellten Aufgaben versuchen da einen Mittelweg zu gehen,
indem man beispielorientiert und experimentell beginnt und das Zug um
Zug verallgemeinert und letztendlich zu Beweisen hinführt. Wem
dies von nationalen Gepflogenheiten her oder für seine Schulform
zu weit geht, der kann ja auf entsprechende Aufgabenteile
verzichten.
Bei den Aufgaben wurde zum einen darauf geachtet, daß die
Themen in vielen EU-Ländern unterichtet werden müssen bzw.
können. Hier gab es zu unserer Überraschung deutliche
Unterschiede in sowohl Themen als auch in Methoden! Zum anderen wurde
darauf geachtet, daß sie mit allen gängigen dynamischen
Geometrie-Programmen bearbeitet werden können. Es geht es hier
nicht darum, die in einzelnen Punkten unterschiedlichen
Leistungsfähigkeiten und Handhabungsweisen herauszustellen. Es
gilt zu zeigen, daß und wie man mit all diesen Programmen
gemeinsam neue Wege im Geometrieunterricht beschreiten kann.
Die Schwierigkeit der Beispiele reicht von leicht verständlichen
Einstiegsbeispielen bis zu relativ schwierigen und komplexen
Aufgabestellungen mit realem Hintergrund. Es soll aufgezeigt werden,
daß dem Einfallsreichtum bei der Nutzung dynamischer
Geometriesysteme nahezu keine Grenze gesetzt ist.
Ein eher ungewohnter Anwendungsbereich ist das Ziehen und Bewegen von
Körpern im 3D-Bereich. Wenn auch keine automatischen Anpassungen
an die Sichtbarkeit (verdeckte Kanten) möglich sind, gibt es
doch eine Reihe von Beispielen, die das räumliche
Vorstellungsvermögen schulen und unterstützen können.
Dies ist besonders wichtig, weil bei diesem wichtigen Aspekt die
ebene Schulgeometrie versagt. Die Raumanschauung ist im
täglichen Leben wichtig, aber die Raumgeometrie wird in der
Schule oft nur unzureichend behandelt. Auch hier gibt es gravierende
Unterschiede in den einzelnen Ländern; Österreich ist da
Vorreiter bei der Wiederbelebung der Raumgeometrie.
Die Zeichnungen in den nachfolgenden Aufgaben wurden mit Euklid
erstellt (Ausnahme: Beispiel 1.4, Version mit Strahlen mit Geometers
Sketchpad). Lösungsfiguren werden in den WWW-Seiten zu Cabri
(DOS und Mac), Geometers Sketchpad (Mac und Windows), Geolog (DOS und
Windows) und Euklid (Windows) angeboten.
Von Euklid wird auch eine Shareware-Version zur Verfügung
gestellt, mit der alle Aufgaben bearbeitet werden können. Es sei
jedoch ausdrücklich daraufhingewiesen, daß diese nicht
für den Einsatz in Schulen gedacht ist; dafür muß
eine Schullizenz erworben werden.
Abschließend noch etwas zu den Schreibweisen. Diese
unterscheiden sich teilweise von Land zu Land. In den Aufgaben wurden
Schreibweisen und Bezeichnungen benutzt, die international weitgehend
gängig sind (auch wenn in einigen Ländern zwischen Strecke
und Gerade oft nicht unterschieden wird).
Die Streckenlängen werden in cm gemessen, die Winkel in
Grad.
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Geometrie
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Schumann, H.: Schulgeometrisches Konstruieren mit dem Computer.
Metzler + Teubner, Stuttgart 1991.
Henn, H.-W.; Jock, W.: Arbeitsbuch CABRI Geometre. DÜMMLERbuch
4574
Diskette mit allen Lösungen: DÜMMLERbuch 45742
Lugon, S.; Chastellain, M.; Atzbach, R.:Cabricolages. Cornelsen
Ziegler, Th.: Computerunterstützter Geometrieunterricht mit
CabriGéomètre. Kongruenzgeometrie in der Sekundarstufe
I. Duisburg: CoMetVerlag 1993.
Weth, T.: Arbeitsbuch Geolog. DÜMMLERbuch 4582
Elschenbroich, H.-J.: Geometrie beweglich mit Geolog.
DÜMMLERbuch 4556
Diskette mit allen Lösungen: DÜMMLERbuch 45561
Elschenbroich, H.-J.: Geometrie beweglich mit Euklid.
DÜMMLERbuch 4558
Diskette mit allen Lösungen und der Shareware-Version von
Euklid: DÜMMLERbuch 45581
Alternatively,
download the
shareware version.
Neidhardt, W./ Wurm, C.: Arbeitsbuch THALES. DÜMMLERbuch
4551
Diskette mit allen Lösungen: DÜMMLERbuch 45596
Download
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