Socrates ODL Projekt

Dynamische Geometrie

2. Besondere Punkte und Linien im Dreieck

Lernziele dieses Kapitels
 
Aufgabe 2.1: Mittelsenkrechte
Aufgabe 2.2: Winkelhalbierende
Aufgabe 2.3: Seitenhalbierende
Aufgabe 2.4: Höhen
Aufgabe 2.5: Ortslinienuntersuchung
Aufgabe 2.6: Besondere Punkte im Dreieck
Lösungen

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Lernziele dieses Kapitels:

Didaktische Bemerkungen

Am Ende der ersten vier Aufgaben kann es jeweils sinnvoll sein, ein ãMakro" zu erzeugen, mit dem die behandelten Punkte konstruiert werden können. Dies ist in den weiteren Aufgaben hilfreich, aber nicht erforderlich. Wenn über diese Aufgaben hinaus weiter dynamische Geometrie behandelt werden soll, so ist eine Einführung in dem Umgang mit Makros ratsam. Andernfalls kann man durchaus darauf verzichten, die jeweiligen Punkte sind hier auch ohne Makros schnell konstruiert.

In diesem Kapitel werden auch Ortslinien untersucht. Die Möglichkeiten zur Ortslinienbearbeitung sind in den Programmen unterschiedlich. Einige Programme unterscheiden zwischen der Spur (engl. trace) als Menge von Punkten und der Ortslinie (engl. locus) als Graph der zu dieser Spur zugehörigen Funktion, der auch dynamisch mit verändert werden kann. Andere Programme kennen letzteres nicht und bezeichnen auch die Spur als Ortslinie (engl. trace locus), in diesen Fällen wird eine Ortslinie(nspur) nicht dynamisch verändert werden können. .

Die Untersuchung von Ortslinien erfolgt in den vorgestellten Aufgaben in mehreren Schritten. Zuerst soll die Art der Linie erkannt werden (z.B. Gerade, Kreis). Dann soll sie genauer in ihren (vermuteten) Eigenschaften und Beziehungen zu den untersuchten Objekten beschrieben werden (z.B. Mittelsenkrechte). Schließlich soll die vermutete Linie konstruiert werden und im Zugmodus die Richtigkeit überprüft werden.

Es sind verschiedene Wege möglich, die Schnittpunkteigenschaften der Linien im Dreieck zu zeigen bzw. plausibel zu machen. Um Variationsmöglichkeiten zu zeigen, benutzt ein vorgestellter Weg eine Ortslinienuntersuchung, ein anderer setzt Symmetrieargumente ein.

Die Höhe eines Dreiecks wird in der Kongruenzgeometrie meist als Strecke mit einer bestimmten Länge eingesetzt. Hier ist es aber günstiger, die Höhe als Gerade zu konstruieren, damit auch bei stumpfwinkligen Dreiecken ein Höhenschnittpunkt existiert. In den gängigen Geometrieprogrammen kann man ohne weiteres von einem Punkt die Lotgerade auf eine Strecke konstruieren, es wird dabei automatisch das Lot auf die durch dieses Strecke verlaufende Gerade gebildet.

Bei der Euler-Geraden wird erwartet, daß die Schüler Sonderfälle bei gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken erkennen und erklären können. Ansonsten werden hier i.w. Beobachtungen notiert werden müssen, ein Beweis der Kollinearität oder des Teilverhältnisses kann auf dieser Stufe noch nicht geleistet werden.

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Aufgabe 2.1: Mittelsenkrechte

(a)

Konstruiere ein Dreieck mit den Ecken A, B, C.

Konstruiere dann die Mittelsenkrechten der Seiten BC und AC und ihren Schnittpunkt P wie in folgender Figur.
 

(b)

Ziehe am Punkt C und beobachte, in welcher Weise der Punkt P sich bewegt. Welche Art Linie scheint er zu beschreiben?


Schreibe Deine Beobachtungen auf.

(c)

Man kann mit dem ãOrtslinien"-Befehl einen Punkt eine Spur zeichnen lassen.

Lasse so den Punkt P eine Ortslinie aufzeichnen, wenn C bewegt wird.


Beschreibe diese Ortlinie als geometrisches Objekt in seinen Beziehungen zum Dreieck.

(d)

Konstruiere diese Linie und überprüfe ihre Richtigkeit, indem Du C variierst.

(e)

Verstecke nun die Mittelsenkrechten wie unten gezeigt.

 
Untersuche die Beziehungen zwischen dem Schnittpunkt P und den Eckpunkten des Dreiecks.


Konstruiere damit einen Kreis, der eine besondere Beziehung zu dem Dreieck hat.

(f)

Ziehe die Eckpunkte und versuche herauszufinden, bei welchem Dreieckstyp der Punkt P im Inneren des Dreiecks, auf einer Seite, außerhalb des Dreiecks liegt.


Schreibe Deine Beobachtungen auf und illustriere sie mit typischen Skizzen.

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Aufgabe 2.2: Winkelhalbierende

(a)

Konstruiere ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C.

Konstruiere nun die Winkelhalbierende des Winkels <BAC.

Konstruiere einen Kreis um einen Punkt P auf dieser Winkelhalbierenden mit einem beliebigen Kreispunkt Q wie in Figur.

(b)

Verändere die Größe des Kreises, indem Du an Q ziehst, bis die Seite AB den Kreis berührt.


Was kannst Du dann beobachten?

Welche Eigenschaft der Winkelhalbierenden ist dafür der Grund?

(c)

Es soll ein Kreis gezeichnet werden, der alle drei Seiten des Dreiecks berührt.

Konstruiere dazu eine andere Winkelhalbierende.

Bewege P und Q so, daß der Kreis die gewünschte Eigenschaft hat.

Ziehe an einem Eckpunkt des Dreiecks.

Was passiert in deiner Konstruktion?

(d)

Nun wollen wir einen Kreis so konstruieren, daß die gewünschte Eigenschaft erhalten bleibt, wenn wir an den Ecken ziehen.

Verstecke oder lösche dazu den existierenden Kreis und die Punkte P und Q.
 
Konstruiere den Punkt R, auf dem der Mittelpunkt des gewünschten Kreises liegen muß.

Erkläre, warum R die gewünschte Eigenschaft haben muß.

(e)

Konstruiere jetzt den Kreis. (Hinweis: Konstruiere zuerst eine Senkrechte von R auf eine der Dreiecksseiten.)
 
Überprüfe die Richtigkeit Deiner Konstruktion durch Ziehen.

Erkläre, warum die dritte Winkelhalbiertende auch durch R verlaufen muß.

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Aufgabe 2.3: Seitenhalbierende

(a)

Konstruiere ein Dreieck mit den Ecken A, B, C.

Konstruiere den Mittelpunkt einer Seite.

Konstruiere die Strecke von diesem Mittelpunkt zu der gegenüberliegenden Ecke. Siehe die unten stehende Figur.


Solch eine Strecke wird Seitenhalbierende genannt. Sie teilt das Dreieck stets in zwei Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt.

(b)

Konstruiere nun die beiden anderen Seitenhalbierenden.


Was stellst Du fest, wenn Du an einer Ecke des Dreiecks ziehst?

(c)

Konstruiere den Schnittpunkt P zweier Seitenhalbierenden. Dieser Punkt P teilt jede dieser Seitenhalbierenden in zwei Teile. Finde heraus, in welchem Zusammenhang sie stehen.

Teste Deine Beobachtungen durch Ziehen.

(d)

Dieser Schnittpunkt P heißt Schwerpunkt des Dreiecks. Was bedeutet das für ein Dreieck, das aus fester Pappe ausgeschnitten wurde? Erkläre, warum P diese Eigenschaft haben muß.

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Aufgabe 2.4: Höhen

(a)

Konstruiere ein Dreieck mit den Ecken A, B, C. Konstruiere nun eine Gerade durch C senkrecht zu AB.

Diese Gerade wird Höhe oder manchmal präziser Höhengerade genannt. (Hier werden wir nicht mit Strecken als Höhen arbeiten.)

(b)

Konstruiere entsprechend die anderen Höhen(geraden). Benutze Farben, um die verschiedenen Geraden besser zu unterscheiden.

Ziehe an den Eckpunkten des Dreiecks und schreibe Deine Beobachtungen auf.

(c)

Konstruiere den Schnittpunkt zweier Höhen.

Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Typ des Dreiecks und der Lage des Höhenschnittpunktes. Dabei kann es sinnvoll sein, Konstruktionslinien zu verstecken.

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Aufgabe 2.5: Ortslinienuntersuchung

(a)

Konstruiere einen Kreis um einen Punkt O durch einen beliebigen Punkt P. Verstecke dann diesen Punkt P.

Konstruiere drei Punkte A, B, C auf der Kreislinie.

Konstruiere das Dreieck ABC.

Konstruiere den Höhenschnittpunkt Q des Dreiecks wie unten gezeigt (und verstecke die Höhen, wenn sie noch sichtbar sind).

(b)

Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, in welcher Weise der Punkt Q sich bewegt.

Welche Art Linie scheint er zu beschreiben? Schreibe Deine Beobachtungen auf.

(c)

Lasse den Punkt Q eine Ortslinie aufzeichnen, wenn C bewegt wird.

Beschreibe diese Ortlinie als geometrisches Objekt in seinen Beziehungen zu den vorher konstruierten Objekten.

(d)

Konstruiere diese Linie und überprüfe ihre Richtigkeit, indem Du C variierst.

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Aufgabe 2.6: Besondere Punkte im Dreieck

(a)

Konstruiere ein Dreieck A, B, C.
 
Konstruiere den Umkreismittelpunkt P, den Inkreismittelpunkt Q, den Schwerpunkt R und den Höhenschnittpunkt S des Dreiecks.

Verstecke die Konstruktionslinien, soweit nicht schon geschehen, wie in nachfolgender Figur.

(b)

Ziehe an den Ecken und beobachte die Zusammenhänge zwischen den vier Punkten.


Schreibe Deine Beobachtungen auf.

(c)

Konstruiere die Strecke PS.

Welchen Zusammenhang zwischen den Punkte Q und R und dieser Strecke kannst du beobachten?

Achte auch auf Sonderfälle bei der Gestalt des Dreiecks.

(d)

Miß den Abstand von R zu P und R zu S. Beobachte, was passiert, wenn Du an den Ecken des Dreiecks ziehst.

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Lösungen

Aufgabe 2.1

b, c, d) P scheint sich auf einer Geraden zu bewegen. Diese Gerade ist vermutlich die fehlende Mittelsenkrechte. Deren Konstruktion bestätigt beim Ziehen die Richtigkeit dieser Vermutung.

e) Der Schnittpunkt P hat von den Eckpunkten A, B, C den gleichen Abstand.

Infolgedessen kann man einen Kreis um P durch A konstruieren, auf dem auch stets B und C liegen.

f) Dreieck spitzwinklig: P liegt in Inneren des Dreiecks.

Dreieck rechtwinklig: P liegt auf der Hypotenuse.

Dreieck stumpfwinklig: P liegt außerhalb des Dreiecks.

Aufgabe 2.2

b) Berührt der Kreis um P die Seite AB, so berührt er auch gleichzeitig die Seite AC. Dies liegt an der Symmetrieeigenschaft der Winkelhalbierenden.

c) Der Mittelpunkt des Kreises muß auf dem Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden liegen. Man findet durch geeignetes Ziehen an P und Q eine spezielle Lösung, aber diese ist nicht zugfest, sie ist nicht allgemein konstruiert. Beim Ziehen an einem Eckpunkt des Dreiecks berührt der Kreis nicht mehr alle drei Dreiecksseiten.

d) R muß als Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden konstruiert werden. Als solcher hat er gleichen Abstand von AB und AC und von AB und BC, also von allen drei Seiten.

e) Die Senkrechte auf eine Seite des Dreiecks ist erforderlich, um den Abstand zur Seite und damit den Kreispunkt zu konstruieren.

Daß die dritte Winkelhalbierende auch durch R verlaufen muß, ergibt sich aus d) und der Symmetrieeigenschaft der Winkelhalbierenden.

Aufgabe 2.3

b) Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

c) Dieser Punkt teilt jede Seitenhalbierende in zwei Teile. Die Teilstrecke zur Ecke ist doppelt so lang wie die Teilstrecke zur Seite.

d) Die Seitenhalbierenden sind Schwerelinien, sie zerteilen das Dreieck jeweils in zwei gleichgroße (gleichschwere) Teildreiecke. Infolgedessen kann man das Dreieck auf dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Gleichgewicht balancieren.

Aufgabe 2.4

b) Die Höhengeraden eines Dreiecks schneiden sich stets in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.

c) Ist das Dreieck

Aufgabe 2.5

b) Der Punkt Q bewegt sich wohl auf einer Kreislinie.

c) Dieser Kreis verläuft durch A und B und Q. Er scheint den gleichen Radius wie der Ausgangskreis zu haben.

d) Entweder konstruiert man den gesuchten Kreis als Umkreis zu ABQ oder man erkennt, daß der Mittelpunkt des gesuchten Kreises der Spiegelpunkt von O gespiegelt an AB sein könnte.

In beiden Fällen erweist die Vermutung sich beim Ziehen an C als zutreffend.

Aufgabe 2.6

b) Es scheinen stets drei Punkte auf einer Geraden zu liegen, nämlich P, R, S.

c) Anders gesagt: R liegt stets auf der Strecke PS. Q liegt auf der Geraden PS, wenn das Dreieck gleichschenklig ist. Ist es sogar gleichseitig, dann fallen alle vier Punkte zusammen.

d) R teilt die Strecke PS im Verhältnis 1:2. (vergleiche die Eigenschaften des Schwerpunktes!).

Lösungs-Figuren

Wir haben mit verschiedenen dynamischen Geometrie-Programmen Lösungs-Figuren erstellt, die Sie herunterladen können. Die Figuren in den Arbeitsblättern sind mit Euklid erstellt. Wenn Sie andere Programme einsetzen, können die Figuren geringf¸gig anders aussehen.

Nach Beendigung unsererArbeit ist mittlerweile Cabri II erschienen. Dies ist im Moment das mächtigste Geometrie-Programm. Leider ist es nicht in der Lage, die alten Cabri-Dateien zu lesen.

Lösungsfiguren für CABRI.

Lösungsfiguren für THALES.

Lösungsfiguren für GEOLOG.

Lösungsfiguren für EUCLID.

Lösungsfiguren für SKETCHPAD.

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