Socrates ODL Projekt

Dynamische Geometrie

1. Arbeiten mit Dreiecken

Lernziele dieses Kapitels

 

Aufgabe 1.1: Einige Beobachtungen an Dreiecken

Aufgabe 1.2: Wechselwinkel an Parallelen; Winkelsumme im Dreieck

Aufgabe 1.3: Stufenwinkel an Parallelen; Winkelsumme im Dreieck

Aufgabe 1.4 Außenwinkel (für Programme ohne Strahlen)

Aufgabe 1.5 Vertiefung Außenwinkel (für Programme ohne Strahlen)

Aufgabe 1.4 Außenwinkel (für Programme mit Strahlen)

Aufgabe 1.5 Vertiefung Außenwinkel (für Programme mit Strahlen)

 

Lösungen

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Lernziele dieses Kapitels

• mit grundlegenden Objekten der dynamischen Geometrie (Punkte, Strecken, Geraden, ...) vertraut werden.
• lernen, wie man solche Objekte in dynamischen Geometrieprogrammen konstruiert und wie man Strecken und Winkel mißt.
• in eine grundlegende Eigenschaft dynamischer Geometrieprogramme eingeführt werden: den Zugmodus, das ist die Art und Weise, wie alle Konstruktionen und Maße angepaßt werden, wenn ein Basisobjekt (z.B. ein Punkt) gezogen wird.
• Eigenschaften von Winkeln an geschnittenen Parallelen erforschen.
• Eigenschaften des Dreiecks kennenlernen, die den Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen betreffen.
• Eigenschaften des Dreiecks kennenlernen, die den Zusammenhang von Innenwinkeln und Außenwinkeln betreffen.
• erkennen, daß bei allen konvexen Polygonen die Summe der Außenwinkel bei einer Umrundung 360° beträgt.
• zusammengehörige Konstruktionen erforschen und so gegebenenfalls zu informellen Beweisen hingeführt werden.

Didaktische Bemerkungen:

Bei den Formulierungen der festgestellten/ vermuteten Eigenschaften sollte der Lehrer auf eine ausdrückliche Wenn-dann-Formulierung achten und auch die Frage nach der Umkehrung der Schlußrichtung stellen.

Um in dynamischen Geometrieprogrammen Winkel messen zu können, ist es erforderlich, den Winkel durch drei Punkte festzulegen. Deswegen ist manchmal noch nötig, einen zusätzlichen Punkt auf einer Linie zu konstruieren.

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Beispiel 1.1: Einige Beobachtungen an Dreiecken

(a)

Konstruiere ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C.

Miß die Größe der Winkel und die Länge der Seiten wie in Figur 1. (Deine Figur wird vermutlich andere Maße besitzen als die unten gezeigte.)

Ziehe an den Eckpunkten und beobachte, was geschieht.

(b)

Kannst Du irgendwelche Zusammenhänge zwischen der Größe der Winkel und der Länge der Seiten feststellen?

Schreibe Deine Beobachtungen auf und illustriere sie mit einer Skizze.

Achte auch auf Sonderfälle, in denen einige oder alle Maße gleich groß sind.

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Aufgabe 1.2: Wechselwinkel an Parallelen; Winkelsumme im Dreieck

(a)

Konstruiere ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C.

Konstruiere die Gerade g durch C parallel zu AB.

Miß die Winkel, die in folgender Figur markiert sind.

(b)

Ziehe an dem Eckpunkt C und beobachte, was passiert.

Schreibe Deine Beobachtungen auf und illustriere sie mit einer Skizze. Benutze Farben.

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Aufgabe 1.3: Stufenwinkel an Parallelen; Winkelsumme im Dreieck

(a)

Konstruiere ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C.

Konstruiere die Gerade durch A und B.

Konstruiere eine Gerade durch B parallel zu AC.

Miß die Winkel, die in der nachfolgenden Figur markiert sind.

(b)

Ziehe am Punkt C und beobachte, was passiert.

Schreibe Deine Beobachtungen auf und illustriere sie gegebenenfalls mit einer Skizze. Benutze Farben.

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Aufgabe 1.4: Außenwinkel (für Programme ohne Strahlen)

Betrachte eine Person, die an einem Punkt A startet und zum Punkt B geht. Sie dreht sich um einen bestimmten Winkel und geht dann zum Punkt C. Dort dreht sie sich in dem gleichen Drehsinn, bis sie den Punkt A sieht. Nun geht sie nach A und dreht sich wieder in die Ausgangsrichtung.

(a)

Dies werden wir im folgenden modellieren.

Konstruiere ein Dreieck ABC, die Geraden durch die Dreiecksseiten und die Außenwinkel wie in der nachfolgenden Figur.

 

Miß die Außenwinkel, achte darauf, wie gezeigt die richtigen Winkel zu wählen. Diese sind die Drehwinkel, die in der Einführung oben erwähnt wurden.

(b)

Ziehe an den Ecken und beobachte, was passiert. Notiere Deine Beobachtungen.

Notiere Deine Beobachtungen.

Miß ebenfalls die Innenwinkel, die in der nächsten Figur markiert sind.

Zieh an den Ecken und versuche, einen Zusammenhang zwischen Außenwinkel und Innenwinkeln zu entdecken.

Schreibe Deine Beobachtungen auf und illustriere sie gegebenenfalls mit einer Skizze. Benutze Farben.

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Aufgabe 1.5: Vertiefung Außenwinkel (für Programme ohne Strahlen)

Nun soll ein Rundweg um ein Viereck untersucht werden.

(a)

Konstruiere ein Viereck samt Außenwinkeln wie in der unten stehenden Figur.

Kannst Du entsprechende Eigenschaften wie die oben für das Dreieck entdeckten beobachten?

(b)

Zieh an den Ecken und versuche, einen Zusammenhang zwischen Außenwinkel und Innenwinkeln zu entdecken.

Schreibe Deine Beobachtungen auf und illustriere sie gegebenenfalls mit einer Skizze. Benutze Farben.

(c)

Verfahre entsprechend für Polygone mit mehr Ecken.

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Aufgabe 1.4: Außenwinkel (für Programme mit Strahlen)

Betrachte eine Person, die an einem Punkt A startet und zum Punkt B geht. Sie dreht sich um einen bestimmten Winkel und geht dann zum Punkt C. Dort dreht sie sich in dem gleichen Drehsinn, bis sie den Punkt A sieht. Nun geht sie nach A und dreht sich wieder in die Ausgangsrichtung.

Dies werden wir im folgenden modellieren.

(a)

Konstruiere ein Dreieck ABC mit Strahlen durch die Dreiecksseiten wie in der nachfolgenden Figur und miß die entstandenen Außenwinkel .

 

 

Miß die Außenwinkel, wähle wie gezeigt die richtigen Winkel. Diese sind die Drehwinkel, die in der Einführung oben erwähnt wurden.

(b)

Ziehe an den Ecken und beobachte, was passiert.

Notiere Deine Beobachtungen.

(c)

Miß ebenfalls die Innenwinkel, die in der nachfolgenden Figur markiert sind.

 

Zieh an den Ecken und versuche, einen Zusammenhang zwischen Außenwinkel und Innenwinkeln zu entdecken.

Schreibe Deine Beobachtungen auf und illustriere sie gegebenenfalls mit einer Skizze. Benutze Farben.

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Aufgabe 1.5: Vertiefung Außenwinkel (für Programme mit Strahlen)

Nun soll ein Rundweg um ein Viereck untersucht werden.

(a)

Konstruiere ein Viereck samt Außenwinkeln wie in der nachfolgenden Figur.

Kannst Du entsprechende Eigenschaften wie die oben für das Dreieck entdeckten beobachten?

 

Zieh an den Ecken und versuche, einen Zusammenhang zwischen Außenwinkel und Innenwinkeln zu entdecken.

Schreibe Deine Beobachtungen auf und illustriere sie gegebenenfalls mit einer Skizze. Benutze Farben.

(b)

Verfahre entsprechend für Polygone mit mehr Ecken.

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Lösungen

Aufgabe 1.1

a) Es ändern sich beim Ziehen an Eckpunkten stets zwei Seitenlängen und alle Innenwinkel.

b) Dem größten Winkel liegt die größte Seite gegenüber, dem mittleren Winkel die mittlere Seite und dem kleinsten Winkel die kleinste Seite (und jeweils umgekehrt).

Sonderfälle:

Ist das Dreieck gleichschenklig, so sind die Basiswinkel gleich groß (und umgekehrt).

Ist das Dreieck gleichseitig, so sind die alle Innenwinkel gleich groß (und umgekehrt).

Bemerkung: Da man an dieser Stelle in der Regel noch nicht die Innenwinkelsumme im Dreieck kennt, kann man auch nur feststellen, daß die Winkel gleich groß sind. Daß sie alle 60° groß sein müssen, ergibt sich dann gegebenenfalls etwas später.

Aufgabe 1.2

b) Werden parallele Geraden von einer weiteren Geraden geschnitten, so sind die entstehenden Wechselwinkel gleich groß.

Die drei Winkel bei C entsprechen den Innenwinkeln des Dreiecks und ergeben zusammen einen gestreckten Winkel.

Daraus ergibt sich, daß in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel 180° beträgt.

Aufgabe 1.3

b) Werden parallele Geraden von einer weiteren Geraden geschnitten, so sind die entstehenden Stufenwinkel gleich groß.

Die drei Winkel bei B entsprechen den Innenwinkeln des Dreiecks (Stufenwinkel und Wechselwinkel) und ergeben zusammen einen gestreckten Winkel.

Daraus ergibt sich, daß in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel 180° beträgt.

Aufgabe 1.4

b) Die Summe der Außenwinkel beträgt 360°.

Dies ist auch logisch, weil man sich bei dem Rundweg genau einmal im Kreis gedreht hat (Volldrehung).

c) An jedem Eckpunkt ergeben Innenwinkel und Außenwinkel zusammen 180°.

Jeder Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht-anliegenden Innenwinkel zusammen.

Aufgabe 1.5

a) Am (konvexen) Viereck ist die Summe der Außenwinkel 360° groß.

b) Am jedem (konvexen) n-Eck ist die Summe der Außenwinkel 360° groß.

Ergänzung:

Entsprechendes läßt sich auch für nicht-konvexe n-Ecke feststellen, wenn man auf die Winkelorientierung achtet.

Aus der Außenwinkelsumme = 360° und der Eigenschaft, daß Innenwinkel und Außenwinkel zusammen stets 180° ergeben, läßt sich auch einfach die Innenwinkelsumme im n-Eck herleiten:

Innenwinkelsumme n-Eck = n*180° - 360° = (n - 2)*180°

Lösungs-Figuren

Wir haben mit verschiedenen dynamischen Geometrie-Programmen Lösungs-Figuren erstellt, die Sie herunterladen können. Die Figuren in den Arbeitsblättern sind mit Euklid erstellt. Wenn Sie andere Programme einsetzen, können die Figuren geringf¸gig anders aussehen.

Nach Beendigung unsererArbeit ist mittlerweile Cabri II erschienen. Dies ist im Moment das mächtigste Geometrie-Programm. Leider ist es nicht in der Lage, die alten Cabri-Dateien zu lesen.

Lösungsfiguren für CABRI.

Lösungsfiguren für THALES.

Lösungsfiguren für GEOLOG.

Lösungsfiguren für EUCLID.

Lösungsfiguren für SKETCHPAD.

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