Lernziele dieses
Kapitels
Aufgabe 3.1: Spiegelung
eines Dreiecks
Aufgabe 3.2: Das
Feuerwehr-Problem
Aufgabe 3.3:
Billardprobleme
Aufgabe 3.4: Das Problem
von Fagnano (1775)
Solutions
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Je nach benutztem Programm und Zusammensetzung der Schülergruppe kann es methodisch ratsam sein, in einigen der folgenden Aufgaben Makros einzusetzen. Wenn man längere Zeit mit dynamischen Geometrieprogrammen im Unterricht arbeitet, sollte man auf Makros nicht verzichten; dies ist arbeitssparend und übersichtlich. Der Einsatz von Makros ist aber nicht unbedingt erforderlich. Wenn man nur sporadisch mit dynamischen Geometrieprogrammen arbeitet, kann man die vorgestellten Aufgaben auch ohne Makro-Einsatz lösen.
In den einzelnen Geometrieprogrammen gibt es Unterschiede in der Auswahl der zu spiegelnden Objekte. Darauf kann hier nicht eingegangen werden; für die jeweiligen Programme muß bei Bedarf das Handbuch oder die Online-Hilfe befragt werden.
Je nach Leistungsfähigkeit des benutzten Programms kann man in der Aufgabe 3.2 entweder die gemessenen Längen im Programm summieren oder die angezeigten Werte mit dem Taschenrechner des Programms addieren. Alternativ kann man bei Programmen ohne Taschenrechner auch die beiden Strecken FR und RH auf eine Trägergerade übertragen (dazu braucht man ein Makro Streckenübertragung), zu einer gemeinsamen neuen Strecke zusammenfassen und diese dann messen (vgl. Aufgabe 3.4, Figur 9).
Die Streckenübertragung, ob mit oder ohne Makro, sollte vorher eigens geübt sein.
In Programmen, in denen man mit Termen rechnen kann, könnte man auch nur Längen messen und addieren lassen. Auf eine Trägergerade übertragene Strecken sind aber erheblich suggestiver und übersichtlicher.
Aufgabe 3.4 ist recht anspruchsvoll. Man sollte sie nur einsetzen, wenn die Schüler und der Lehrer solide Erfahrungen mit Abbildungen und der Nutzung dynamischer Geometriesysteme haben. Aber auch dann muß man damit rechnen, daß mindestens zwei Schulstunden dafür benötigt werden.
Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann hier nicht in theoretischer Vollständigkeit beantwortet werden. Eingehende Überlegungen dazu finden sich z.B. in:
Die Kernidee der Lösung ist hier dieselbe wie beim Feuerwehrproblem, nämlich einen geknickten Streckenzug mittels Spiegelung zu begradigen im Hinblick darauf, daß die Strecke zwischen zwei Punkten die kürzeste Verbindung derselben darstellt.
Nach den Erfahrungen aus dem Lösen solcher Aufgaben kann die Verknüpfung von zwei oder mehr Spiegelungen in den Vordergrund geschoben und studiert werden. Dafür geeignete Anwendungen sind z.B. das Periskop (Verschiebung), der Spiegel-Sextant (Drehung) und der Beweis des Satzes von Fagnano nach der Methode der sechsfachen Spiegelung von H.A. Schwartz (Reduktionssatz, Verschiebung).
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Konstruiere weiter eine Gerade s durch die Punkte P und Q wie unten gezeigt.
Verbinde A1, B1 und C1 zu folgendem Dreieck.
Schreibe Deine Beobachtungen auf, verwende Farben!
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Die folgende Aufgabe kann man durch eine kleine Geschichte veranschaulichen:
Ein in der Nähe eines Baches r gelegenes Haus H steht in Flammen. Die in F stationierte Feuerwehr muß auf der Fahrt zur Brandstelle am Bach r Wasser tanken. Sie kann überall auf geradem Weg zum Bach und dann zum Haus fahren. Für welche Stelle R ist der gesamte Fahrweg minimal?
Schreibe Deine Beobachtungen auf.
Die gesuchte optimale Position für R soll nun durch Konstruktion ermittelt werden.
Spiegelt man H an r, so ist RH genauso lang wie RH1. Somit ist der Streckenzug FRH genausolang wie FRH1.
Nutze dies aus, um die optimale Position von R zu konstruieren, so daß FRH1 die minimale Länge hat.
Anstelle von H hätten wir auch den Punkt F an r spiegeln
können. Wie hätte man dann vorgehen müssen, um R zu
konstruieren?
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Auf einem rechteckigen Billard-Tisch liegen eine rote und eine weiße Billiard-Kugel. Die weiße Kugel soll so gestossen werden, daß sie die rote Kugel trifft, nachdem sie an zwei benachbarten Seiten des Billard-Tisches abgeprallt ist.
Hinweis: Physikalisch vollzieht sich der Vorgang des Abprallens einer Billard-Kugel an einer Tischseite nach dem Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) und wird mathematisch mit der Spiegelung beschrieben.
Ermittle den Weg und die Reflexionspunkte der gestossenen Kugel.
Der Schnittpunkt mit g2 ist der Punkt T2.
Beobachte, was anschließend beim Ziehen an W passiert.
Ermittle nun durch Konstruktion die geeignete Lage von T1 und T2, so daß schließlich immer die rote Kugel getroffen wird, auch wenn an W gezogen wird
Hinweis: Denke an das Feuerwehrproblem.
Gibt es bei der Lösung Einschränkungen für die Lage von W und R?
Wie muß dann die Konstruktion erfolgen?
Gibt es auch Positionen von W und R, bei denen die Aufgabe nicht lösbar ist?
Verallgemeinere Deine Lösung für den Fall, daß sich
die beiden Geraden g1 und g2 unter einem anderen Winkel als 90°
schneiden.
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Einem spitzwinkligen Dreieck ABC soll ein Dreieck UVW minimalen Umfangs einbeschrieben werden.
Konstruiere ein spitzwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C.
Konstruiere ein eingeschriebenes Dreieck UVW wie unten gezeigt, indem Du auf den Seiten des Dreiecks ABC jeweils einen Punkt U, V, W konstruierst und sie zu einem Dreieck verbindest.
Miß die Längen von u = VW, v = WU, w = UV.
Du findest die Länge des Umfangs wie folgt:
Ermittle experimentell durch Ziehen an U, V, und W in Deiner Figur das Dreieck mit dem kürzesten Umfang.
Das oben beschriebene Experiment gleicht einem Katz-und-Maus-Spiel. Zieht man A, B oder C, so ist die obige Lösung nicht mehr optimal. Um eine allgemeine Lösung für dies Problem zu konstruieren, müssen wir eine andere Lösungstrategie entwickeln. Dies soll im folgenden schrittweise geschehen.
Spiegle U an BC nach U1 und nochmals U an AC nach
U2. Der Umfang des Dreiecks UVW ist dann genauso groß wie die
Streckensumme U1V + VW + WU2 (siehe unten).
Begründe:
Für gegebenes U erhältst Du die optimale Lage für V
und W als Schnitt der Strecke U1U2 mit den Seiten BC
und AC des Dreiecks ABC.
Lösche jetzt die gegebenen Punkte V und W.
Führe die Konstruktion für das optimale V und W wie unten gezeigt aus.
Wann ist der Abstand von U1U2 (und damit die Länge des Umfangs) ein Minimum?
Welche besondere Lage haben U, V, W in Bezug auf das Dreieck ABC?
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c) Zieht man an A, B oder C, so ändert sich die Gestalt des Dreiecks ABC und entsprechend die Gestalt des Dreiecks A1B1C1. Seitenlängen und Winkelgrößen ändern sich zwar, aber die entsprechenden Seitenlängen und Winkelgrößen in beiden Dreiecken bleiben gleich. Die Orientierung bleibt aber nicht erhalten; aus der Linksorientierung wird eine Rechtsorientierung.
Zieht man an P oder Q, so bleibt die Gestalt des Dreiecks erhalten, es ändert sich nur die Lage des Bilddreiecks A1B1C1.
a) Die Summe der Streckenlängen verändert sich beim Ziehen. An einer Stelle bzw. zunächst nur in einem kleinen Bereich scheint die Summe minimal zu werden. Ob es sich um einen Punkt oder um ein kleines Intervall handelt, kann aufgrund der Messungen nicht zuverlässig beantwortet werden.
b) Versucht man durch Ziehen die optimale Stelle zu ermitteln und achtet auf die markierten Winkel, stellt man fest, daß die Winkel (fast) gleich sind.
Man kann vermuten, daß das aus der Physik bekannte Reflektionsprinzip ãEinfallswinkel = Ausfallswinkel" hier eine Rolle spielt.
Beim Ziehen an P oder Q bzw. an F oder H ist die vorher ermittelte (näherungsweise) optimale Position offensichtlich nicht mehr optimal. Es geht nun darum, die optimale Lage durch Konstruktion zu ermitteln, damit beim Ziehen diese automatisch mit bewegt wird.
c) Wie sich aus der Aufgabenstellung ergibt, ist der Streckenzug FRH genausolang wie FRH1. Die kürzeste Verbindung von F und H1 ist aber eine Strecke. Infolgedessen ist die optimale Lage für R der Schnittpunkt der Strecke FH1 mit der Geraden r.
d) Hätte man zu Beginn F gespiegelt, so wäre R als Schnittpunkt von FH1 mit r zu konstruieren gewesen.
b) Durch Ziehen kann man eine spezielle Lage von T1 finden, so daß h2 durch R läuft. Sobald man aber die Lage von W ändert, verläuft h2 nicht mehr durch R.
c) W wird an g1 zu W1 gespiegelt und R an g2 zu R1. Die Verbindungsgerade W1R1 schneidet g1 und g2 in den gesuchten Punkten T1 und T2.
d) Der Quadrant, in dem die Bälle liegen und der den Billiardtisch darstellen soll, wird durch die Gerade durch R und den Schnittpunkt Z von g1 und g2 in zwei Teile geteilt. Liegt W in dem Teil, zu dem auch die Gerade g1 gehört, so muß an g1 gespiegelt werden wie in c) durchgeführt.
Liegt W aber in dem Teil, zu dem auch die Gerade g2 gehört, so versagt diese Konstruktion.
Stattdessen müssen dann entsprechend die Schnittpunkte T3 und T4 gebildet werden, wenn man zunächst W an g2 und R an g1 spiegelt, die Spiegelpunkte zu einer Geraden verbindet und deren schnitt mit g1 bzw. g2 bestimmt.
e) Liegt R auf der Strecke WZ, so ist die Aufgabe nicht lösbar, man könnte nur direkt W gegen R stoßen.
b) Je nach Lage von U bzw. V oder W ändert sich die Länge der zusammengesetzten Strecke. Dabei ändern sich stets zwei der Streckenlängen, die Länge der dritten bleibt. Es scheint eine minimale Länge (= Umfang UVW) zu geben, wenn man an U zieht und V und W festläßt. Läßt man dann U und W fest und zieht an V, so scheint es dafür auch eine minimale Streckenlänge zu geben. Enstsprechend bei Ziehen an W.
Bemerkung: In CABRI muß man mit einem Makro zur Längenübertragung arbeiten. In EUKLID kann man genauso vorgehen, man kann dort aber auch die Längenübertragung durch Kreise mit bestimmten Radius durchführen, weil dort als Längenangaben auch Terme zulässig sind. In Sketchpad kann dies genauso gemacht werden, oder man addiert die Messungen einfach mit dem eingebauten Taschenrechner.
c) Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist eine Strecke.
d) Die Strecken CU, CU1 und CU2 sind gleich lang.
Der Winkel <U2CU1 ist doppelt so groß wie der Winkel
<WCV.
e) Das Minimum erhält man, wenn die Punkte V und W auf der
Strecke U1U2 liegen. Das ist dann der Fall, wenn der Abstand
von U und C minimal ist; anders gesagt, wenn UC senkrecht zu
AB ist oder anders gesagt, wenn U der Höhenfußpunkt
(Lotfußpunkt) von C auf AB ist.
Bemerkung: Deswegen wurde auch zu Beginn verlangt, daß das Dreieck ABC spitzwinklig sein soll.
f) V und W werden ebenfalls als Lotfußpunkt von A bzw. B konstruiert.
g) Der Fußpunkt einer Höhe kann bei einem stumpfwinkeligen Dreieck außerhalb des Dreiecks liegen, sodaß unser konstruiertes Dreieck nicht mehr eingeschrieben ist. (Siehe auch Lösung zu (e)).
Wir haben mit verschiedenen dynamischen Geometrie-Programmen Lösungs-Figuren erstellt, die Sie herunterladen können. Die Figuren in den Arbeitsblättern sind mit Euklid erstellt. Wenn Sie andere Programme einsetzen, können die Figuren geringf¸gig anders aussehen.
Nach Beendigung unsererArbeit ist mittlerweile Cabri II erschienen. Dies ist im Moment das mächtigste Geometrie-Programm. Leider ist es nicht in der Lage, die alten Cabri-Dateien zu lesen.
Lösungsfiguren für CABRI.
Lösungsfiguren für THALES.
Lösungsfiguren für GEOLOG.
Lösungsfiguren für EUCLID.
Lösungsfiguren für SKETCHPAD.
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