Computergestützter Geometrie-Unterricht mit elektronischen Arbeitsblättern
Hans-Jürgen Elschenbroich

 
Standardthemen in moderner Sicht: Was bedeutet das für den Geometrie-Unterricht? Nun, auch in moderner Sicht bleibt die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° und bleibt die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

Moderne Sicht heißt: moderne Werkzeuge, moderne Methoden.

Zunächst eine kurze Rückschau.
Die Geometrie der Antike basierte auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal (ohne Längenskala). Objekte waren zunächst: Punkte, Strecke/Strahl/Gerade, Dreiecke/Polygone, Kreis, ... . Erst später kamen Zahlen hinzu: Längen, Winkel, Flächeninhalte, ... . Als Werkzeug wurde das Lineal um eine Längenskala erweitert und später der Winkelmesser entwickelt. Das Geodreieck beinhaltete schließlich neben Längen und Winkeln auch Parallele und Senkrechte (frühe Makros!) und ist mittlerweile unstrittiges Werkzeug des Geometrie-Unterrichts.

Mit der zunehmenden Verbreitung von Computern gab es in den 80er Jahren Geometriesoftware der 1. Generation, mit der man wie mit Zirkel und Lineal konstruieren konnte (z. B. KOBESCH). Diese brachte aber keine wesentlichen Impulse und didaktischen Neuerungen und konnte sich nicht durchsetzen.

Neue Impulse sowohl inhaltlicher als auch methodischer Art kamen erst durch die Dynamische Geometrie-Software (DGS) wie z. B. Cabri, Euklid, Geolog.
Zugmodus, Makros und Ortslinien sind die typischen Eigenschaften. Sie ermöglichten experimentelles Arbeiten, visuelles Argumentieren sowie heuristische Strategien. Inhaltlich gab es einerseits neue Themenbereiche (z. B. Euler-Gerade, Ortslinien, Kreisinversion), die vorher nicht zugänglich waren, andererseits kam man oft wieder zu klassischen Konstruktionen und Problemen zurück.

Der unterrichtliche Einsatz ist aber nicht ohne Tücken:

·        Zunächst braucht man einen freien Computerraum mit genügend Arbeitsplätzen.

·        Dann ist in der Regel eine längere Durststrecke von Konstruktionen zu überwinden, bevor mathematisch Aktivitäten anhand der konstruierten Figuren stattfinden können.

·        Es passiert häufig, dass etliche Schülergruppen nicht fertig werden.

·        Ständig kommt es auch vor, dass durch Fehler in der Konstruktion Figuren entstehen, die nicht das leisten, was sie sollen und deshalb für den weiteren mathematischen Unterrichtsgang ungeeignet sind!

Neben der Angst vor solchen Fallen in der Durchführung gibt es bei vielen Lehrern auch grundsätzliche Vorbehalte, z. B. dass die Schüler den Umgang mit Zeichengeräten ganz verlernen oder dass die im Zugmodus erlebte Evidenz das Beweisbedürfnis weiter vermindert.

Auch muss zu den sowieso vorhandenen Anforderungen an geometrische Konstruktionen (oder Beweisführungen) jetzt noch ein Wissen über die Bedienung von DGS und deren Objekt-Philosophie (Unterscheidung in freie Punkte/ gebundene Punkte/ Schnittpunkte, Konzept der Freiheitsgrade, Hierarchien von Objekten) hinzukommen, um erfolgreich tätig zu sein.

Neuer Ansatz: Elektronische Arbeitsblätter

All das führte dazu, dass zwar auf der theoretischen Ebene der Hochschul-Didaktik die Auswirkungen der DGS auf die Konzeption von Geometrie-Unterricht beachtlich waren, im real existierenden Unterricht es aber bei vereinzelten Aktionen von überzeugten Enthusiasten blieb.

Das Konstruieren geometrischer Figuren mit DGS erwies sich letzten Endes als eine spezielle Form des Programmierens, sei es als mausgesteuertes Programmieren auf einer graphischen Benutzeroberfläche, sei es als tastaturgesteuerte Eingabe von Konstruktionsbefehlen im Sinne eines Konstruktionsprogramms. Dies geometrische Programmieren in einer Klasse 7-8-9 war zeitaufwendig und fehleranfällig und stellte an Lehrer und Schüler hohe Anforderungen.

Hier setzt nun die Idee elektronischer Arbeitsblätter an:

Weg vom Programmieren als Konstruieren von Figuren ist die Devise, hin zum Arbeiten mit geometrischen Figuren, zum Experimentieren, zum Deuten von Ortslinien, zum Aufstellen und Überprüfen von Vermutungen, zum Entdecken von Eigenschaften, in der Folge auch zum Herstellen von Querverbindungen und Begründungszusammenhängen.

Solche elektronischen Arbeitsblätter enthalten vorbereitete Konstruktionen und integrierte Aufgabentexte. Sie verstehen sich als eine mediale Brücke zwischen der Welt der Mathematik (den geometrischen Sätzen) und der Welt der DGS (mit ihrer Objektphilosophie, ihren Konstruktionsbefehlen, dem Zugmodus und den Ortslinien), sie können ohne vertiefte Kenntnis des jeweiligen Programms eingesetzt werden.

Jeder Schüler ist aktiv tätig statt passiv zuhörend. Durch ein interaktives Werkzeug wird individuelles und selbstgesteuertes Lernen möglich; Experimentieren, Vermuten und Überprüfen wird selbstverständlicher Teil des Lernprozesses.

Mit solchen elektronischen Arbeitsblättern wandelt sich die Rolle des Schülers. Vom Objekt der Belehrung wird er mehr zum Subjekt eigenen Lernens. Die Zulassung und Betonung des Visuellen und die Aufforderung zum experimentellen Arbeiten geben dem Geometrie-Unterricht einen anderen Charakter und erhöhen die Möglichkeiten zum selbstständigen Arbeiten.

Rolle des Lehrers

Akzeptiert man den derzeitigen Stand der Lernpsychologie, so konstruiert sich jeder Schüler auf der Basis seiner Vorerfahrungen sein eigenes Wissen (Subjektive ErfahrungsBereiche im Sinne von Bauersfeld). Besteht schon im klassischen lehrerzentrierten die Gefahr eines Flickenteppichs aus unterschiedlichem Wissen, so kann es bei elektronischen Arbeitsblättern, die auf ein hohes Maß an Eigentätigkeit der Schüler abzielen, noch eher passieren, lauter isolierte Wissensinseln zu produzieren. Die neue Rolle des Lehrers wird deshalb darin bestehen, die im Einzelnen aufgebauten subjektiven Erfahrungen und Deutungen der Schüler zu sammeln, ggfs. zu korrigieren, zu organisieren und vernetzen und eine gemeinsame Wissensbasis für zukünftiges Arbeiten herzustellen. Dabei ist es wichtig, verschiedene Lösungswege einzubeziehen und auch auf unfertige oder fehlerhafte Ansätze einzugehen.

Der Lehrer ist in der Zeit, in der die Schüler an den Arbeitsblättern arbeiten, nicht arbeitslos. Seine gewandelte Aufgabe besteht darin, herumzugehen und den Arbeitsprozess der Schüler zu beobachten und sich innerlich Notizen zu machen über Aspekte, die in der Auswertung angesprochen werden sollen. Falls erforderlich gibt er einzelnen Gruppen Hinweise (notfalls auch zentral) oder besonders schnellen Schülern Zusatzaufgaben.
Entdeckendes Arbeiten braucht Zeit und Ruhe, eine Wettkampfmentalität ist da eher hinderlich.

Die Arbeit am Computer ist nur ein Teil der Schüleraktivität. Eine Dokumentation gehört untrennbar dazu und ist wesentliche Voraussetzung für die abschließende Besprechung. Für eine solche Dokumentation sind mehrere Formen denkbar: eine Notiz im Heft oder elektronisch in Textboxen oder Word-Texte, ein Ausdruck der Lösungsfigur oder eine Zeichnung mit Zirkel und Lineal oder eine einfache Handskizze. Für die Auswertung und Besprechung ist genügend Zeit vorzusehen.

Dabei wird auch ein anderer Umgang mit Fehlern erforderlich. Zum visuellen und experimentellen Arbeiten gehört das Aufstellen von Vermutungen. „Falsche“ Vermutungen kommen dabei häufig vor und sind nicht als Fehler zu bewerten, sondern als Stufen im Erkenntnisprozess und als Chance im Lernprozess. Dafür ist wesentlich, dass die Schüler in einer Lernumgebung arbeiten, die zum Vermuten und Ausprobieren ermutigt. Das in Deutschland vorherrschende fragend-entwickelnde Lehrer-Schüler-Unterrichtsgespräch erweist sich als Unterrichtsmethode eher hinderlich, weil es zum einen sehr stark den Denkprozess in Richtung der vor Lehrer vorgedachten Lösung einengt und weil es unausgesprochen Lernsituation und Leistungsfeststellung verquickt.

Visuell dynamische Beweise

 Experimentelles oder anschauliches Arbeiten hat keine Tradition im Geometrie-Unterricht. Seit mehr als 2000 Jahren ist unser Geometrie-Verständnis durch das Werk Euklids geprägt. Auf Axiomen aufbauend gibt es ein Gebäude von Lehrsätzen, die durch logische Deduktionen aus den Axiomen oder schon bewiesenen Sätzen hergeleitet werden, ohne auf die Anschauung zurückzugreifen.

Dies ist aber nicht der Weg, wie Erkenntnis entsteht und sich individuell Wissen aufbaut! Der Geometrie-Unterricht war mehr wissenschaftstheoretisch als lernpsychologisch und erkenntnistheoretisch konzipiert. Das Aufkommen der Abbildungsgeometrie verstärkte die Problematik, weil zur verfrühten Formalisierung noch eine Algebraisierung der Geometrie hinzukam.
Auf die Problematik, in der Sekundarstufe I Beweise(n) in strenger formaler Weise zu unterrichten, wurde von Didaktikern schon immer warnend hingewiesen.

Wittmann und Müller haben als Alternative zum streng formalen deduktiven Beweis das Konzept des „inhaltlich-anschaulichen Beweises“ entwickelt und dazu ausgeführt: „Inhaltlich-anschauliche, operative Beweise stützen sich dagegen auf Konstruktionen, von denen intuitiv erkennbar ist, dass sie sich auf eine ganze Klasse von Beispielen anwenden lassen und bestimmte Folgerungen nach sich ziehen.“[1]
Von Blum und Kirsch wurde zum „präformalen Beweis“ weiterentwickelt, worunter sie „eine Kette von korrekten Schlüssen verstehen, die auf nicht-formale Prämissen zurückgreifen.“[2]
Winter spricht von „Siehe-Beweisen“, in denen sich „praktische Handlungen widerspiegeln“[3].

Für den Einsatz von DGS wurde das zu „visuell-dynamischen Beweisen“ weiterentwickelt, die (im Gegensatz zur reinen Evidenz-Feststellung) eine Anwort auf die Frage ‚Warum ist das so?‘ geben sollen.

„Sie sind

• visuell: anschaulich, auf eine Zeichnung bezogen als Figur, Eigenschaften und Bezeichnung

• dynamisch: keine einzelne, starre Zeichnung, sondern eine ideale Zeichnung, eine ganze Klasse von Figuren mit gleichen Eigenschaften, ermöglicht und sichtbar gemacht durch den Zugmodus von DGS

• Beweis: ein vollgültiger Beweis in dem Sinne, dass er nicht durch rationale Argumentationen zu erschüttern ist und in dem Sinne, dass eine Antwort auf die Frage nach dem 'Warum' gegeben wird.“[4]

In der Folge der Bilder, die im Zugmodus entstehen, kann ein Beweis als eine Geschichte in Bildern[5] aufgefasst werden. Das Arbeiten im Zugmodus hat so gewisse Verwandschaften mit einem Trickfilm, der vor dem Auge (später auch vor dem geistigen Auge) abläuft.

Die lernpsychologisch entscheidenden Unterschiede bestehen darin, dass bei DGS als interaktivem Medium

·        Schüler nicht passive Betrachter sind, sondern aktiv Handelnde,

·        nicht mehr ein für alle gleicher Film abläuft, sondern dass es individuelle Filme gibt, in denen Schüler selber Regisseure sind,

·        der Zugmodus Möglichkeiten zum experimentellen Arbeiten, zum Neuansatz bietet,

·        der Zugmodus Vermutungen produziert und gleichzeitig eine Kontrollinstanz für diese Vermutungen bietet.

Die vorgegebenen Konstruktionen sind dabei nicht als Einschränkungen der Möglichkeiten für Schüler zu sehen; die mediale Brücke der elektronischen Arbeitsblätter bietet über unsicherem Gelände den Schülern eine feste Ausgangsposition für eigene Erkundungen.

Hierin unterscheiden sie sich auch von manchen Java-Applets im Internet, in denen der Schüler nur noch auf den Play-Knopf drücken kann, um eine trickfilmgleiche Animation z. B. zum Beweis des Satzes von Pythagoras zu starten[6] und somit wieder zum passiven Betrachter gemacht wird.

Im Folgenden sollen nun einige Beispiele von elektronischen Arbeitsblättern[7] vorgestellt werden. Die Aufgaben orientieren sich zu großen Teilen am Standardstoff und bieten ihn in dynamischer Form an. Hier gibt es viele klassische Ansätze, die mit DGS jetzt einsichtiger und mit größerer Schüleraktivität unterrichtet werden können.
Für den Lehrer gibt es zusätzlich zu jeder Aufgabe eine schnelle Übersicht über Lernziele, Lernvoraussetzungen und erwartete Lösung(en).

Um Missverständnissen vorzubeugen, soll an dieser Stelle noch betont werden, dass es nicht Ziel der elektronischen Arbeitsblätter ist, Geometrie-Unterricht ausschließlich auf diese Weise zu betreiben. Handlungserfahrung (Schneiden, Falten, Basteln, Herstellen beweglicher Modelle) ist wesentlich für den internen Aufbau abstrakter Vorstellungen. Ebenso das händische Umgehen mit Zirkel und Lineal, das auch im computergestützten Geometrie-Unterricht seine Rolle behält, z.B. bei der Sicherung der Ergebnisse und bei Hausaufgaben, in denen eine spezielle Figur aus der im Zugmodus erlebten Bilderfolge gezeichnet wird. 

Beispiele

 In den folgenden Beispiel-Aufgaben werden teils Schüler-Arbeitsblätter und teils Lehrer-Informationen vorgestellt. Sie vermitteln auf dem Papier leider nur einen ungenügenden Eindruck von den unterrichtlichen Chancen, die in ihnen stecken.

Die Beispiele können als Euklid-Dateien aus der Mathe-Werkstatt[8] geladen werden.

Beispiel 1: Winkelsumme im Dreieck, Aussenwinkel. Schüler-Arbeitsblatt

Beispiel 2: Umfangswinkel, Mittelpunktswinkel. Lehrer-Information

4.7       Umfangswinkelsatz 3: Beweis

Beispiel 3: Umkreis. Schüler-Arbeitsblatt

Beispiel 4: 1. Binomische Formel. Lehrer-Information

7.1       Erste binomische Formel

Beispiel 5: Dreiecksflächeninhalt. Schüler-Arbeitsblatt

Fazit

• Elektronische Arbeitsblätter bieten eine Chance für den Geometrie-Unterricht, Standard-Themen in moderner Form zu unterrichten.

• Sie ermöglichen dem normalen Lehrer im normalen Unterricht ohne Spezialkenntnisse die Vorteile der DGS zu nutzen.

• Sie gehen auf die Erkenntnisse der Lernpsychologie ein.

• Sie ermöglichen selbsttätiges Lernen.

In den nächsten Jahren wird sich in dieser Hinsicht viel bewegen. Multimedia-Umgebungen und Internet werden diesen Prozess noch weiter beschleunigen. Java-basierte Programme (z. B. Cinderella) werden erweiterte Möglichkeiten für schülerorientierte Arbeitsblätter bieten.

Literatur

Bender, Peter: Anschauliches Beweisen im Geometrieunterricht - unter besonderer Berücksichtigung von (stetigen) Bewegungen bzw. Verformungen. In: Kautschitsch/ Metzler: Anschauliches Beweisen.

Blum, Werner/ Kirsch Arnold: Warum haben nicht-triviale Lösungen von f ' = f  keine Nullstellen? Beobachtungen und Bemerkungen zum 'inhaltlich anschaulichen' Beweisen. In: Kautschitsch/ Metzler: Anschauliches Beweisen.

Elschenbroich, Hans-Jürgen: Geometrie beweglich mit Euklid. Dümmler, Bonn 1996.

Elschenbroich, Hans-Jürgen: Dynamische Geometrieprogramme: Tod des Beweisens oder Entwicklung einer neuen Beweiskultur? In: MNU 50/8, 1997.

Elschenbroich, Hans-Jürgen: Visuelles Beweisen - Neue Möglichkeiten durch Dynamische GeometrieSoftware. In: Beiträge zum Mathematikunterricht 1999. Vorträge auf der 33. Tagung für Didaktik der Mathematik. Verlag franzbecker, Hildesheim, Berlin 1999.

Elschenbroich, Hans-Jürgen/ Seebach, Günther: Dynamisch Geometrie entdecken. Elektronische Arbeitsblätter mit Euklid, Klasse 7/8. Dümmler-Stam, Köln 1999.

Holland, Gerhard: Geometrie in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag.  Heidelberg 1996.

Hölzl, Reinhard: Im Zugmodus der Cabri-Geometrie. Deutscher Studien Verlag. Weinheim 1994.

Kautschitsch, H./ Metzler, W. (Hrsg.): Anschauliches Beweisen. 7. und 8. Workshop zur "Visualisierung in der Mathematik" in Klagenfurt im Juli 1987 und 1988. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1989.

Winter, Heinrich: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Vieweg, Braunschweig 1991.

Wittmann, Erich Christian; Müller, Gerhard: Wann ist ein Beweis ein Beweis? In: Mathematikdidaktik: Theorie und Praxis. Festschrift für Heinrich Winter. Cornelsen, Berlin 1988.